排列与组合是计数原理的基础，以下为最常用的标准公式（规定 0! = 1）。
📈 排列数（Arrangement）
A(n, m) 或 P(n, m) = n × (n-1) × ... × (n-m+1)
A(n, m) = n! / (n-m)! ，其中 n ≥ m ≥ 0
📊 组合数（Combination）
C(n, m) 或 ₙCₘ = 从 n 个不同元素中取 m 个的组合数
C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!] ，且 C(n, m) = C(n, n-m)
🧮 阶乘（Factorial）
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 ，示例：5! = 120
💡 排列考虑顺序，组合不考虑顺序。例如“ABC”与“ACB”在排列中视为不同，在组合中视为相同。
例1排列问题
问题：从 7 本不同的书中选出 3 本并排成一排，有多少种方式？
解答： A(7,3) = 7×6×5 = 210 种。 或者 7!/(7-3)! = 5040/24 = 210。
例2组合问题
问题：从 10 个候选人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法？
解答： C(10,4) = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/(4×3×2×1) = 210 种。
例3阶乘与排列
计算： 6! = 720， A(6,2) = 6×5 = 30， 组合 C(6,2) = 15。
🧠 注意：C(6,2) = A(6,2) / 2! = 30/2 = 15。
例4重复排列
场景： 数字 1~5 组成三位数（可重复），共有 5³ = 125 种。
⭐ 一般公式：n^m (有放回排列)
常用公式速查表
1. 什么时候用排列，什么时候用组合？
答： 如果选取的元素顺序不同视为不同结果（如排队、密码、名次），用排列 A(n,m)；如果只关心选出的集合而不考虑顺序（如委员会、抽奖、选课），用组合 C(n,m)。
2. 0! 为什么等于 1？
答： 为了保持公式一致与组合意义。空集的排列方式只有一种，且 n! = n×(n-1)!，当 n=1 时 1! = 1×0!，所以 0! = 1。
3. C(n,m) 和 C(n, n-m) 相等，怎么理解？
答： 从 n 个中选 m 个，等价于剩下 n-m 个不被选中。所以选 m 个的组合数与选 n-m 个的组合数相同。例如 C(10,7) = C(10,3)。
4. 排列数 A(n,m) 和组合数 C(n,m) 的核心关系？
答： A(n,m) = C(n,m) × m! 。即先组合再对 m 个元素全排列。这也是组合公式的推导来源。
5. 计算大数排列组合有什么技巧？
答： 使用约分或递推。例如 C(15,5) 可写成 (15×14×13×12×11)/(5×4×3×2×1) ，逐步约分。也可借助计算器或编程。
6. 排列组合在概率中的应用？
答： 古典概率中，事件概率 = 有利结果数 / 总结果数，其中结果数常用排列组合计算。例如抽奖、扑克牌概率等。
二项式展开系数即为组合数：
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
允许重复选取的组合数公式：C(n+m-1, m) （隔板法）。
例如：4种水果选5个（可重复） → C(4+5-1,5)=C(8,5)=56。